Le pari de Pascal
Une proposition de séquence en mathématiques articulant le pari de Pascal et la notion d'espérance en mathématiques. Pour des classes de 1ère et de Terminale.
LE PARI DE PASCAL

SOMMAIRE
1 - Le contexte du pari
2 - Préalables philosophiques
3 - Préalable mathématique : la notion d'espérance mathématique
4 - L'application de l'espérance à la problématique du pari
5 - Critiques et postérité du pari



1 - LE CONTEXTE DU "PARI "

1.1. Qui est Blaise Pascal ?
Blaise Pascal (1623-1662) est un des grands génies du XVIIème siècle français. Mathématicien, il fonda dans sa correspondance avec Pierre de Fermat la "théorie du jeu", ancêtre du calcul des probabilités, esquissa les bases du calcul différentiel, travailla sur la courbe cycloïde… Physicien, promoteur de la méthode expérimentale, il posa les bases de la statique des fluides. Philosophe et chrétien, il participa aux débats théologiques sur la question de la liberté et de la grâce dans la mouvance janséniste. Il ébaucha à la fin de sa vie une apologie du christianisme en réplique au courant libertin naissant et les brouillons épars qu'il laissa sans pouvoir achever son projet furent rassemblés et publiés sous le nom de Pensées. La modernité de la langue, le style tranchant des aphorismes, le ton inquiet et la radicalité de l'exploration de l'âme humaine valurent aux Pensées un retentissement extraordinaire auprès d'innombrables lecteurs, croyants ou athées. Penseur de l'existence concrète, dans ses replis et ses contradictions, Pascal en introduisant les notions de risque et d'engagement dans sa réflexion annonce les courants existentialistes contemporains.

1.2. Les Pensées
Le projet des Pensées est de guider l'incroyant, le sceptique, du dédain pour la religion chrétienne à la prise au sérieux du tragique de l'existence, condition préalable pour entendre le message de salut du  Christ. En manifestant que l'homme est à lui-même une énigme insoluble, un tissu de contrariétés et de paradoxes, Pascal inquiète le libertin, l'amène à s'interroger. Si toute vie mène à la mort, si " le dernier acte est sanglant, quelque belle que soit la comédie en tout le reste ", s'il est-il vrai que " l'homme n'est que déguisement ", d'où viennent tant de contradictions entre l'aspiration au bonheur et la misère de la condition humaine ? Peut-on rejeter sans examen le message chrétien selon lequel l'homme, certes corrompu par le péché qui a opacifié sa nature, est pourtant racheté par le Christ et promis avec lui à l'éternité ?
Dès lors que le sceptique a entendu la proposition chrétienne, dès lors qu'il la juge estimable et désirable, encore faut-il qu'il trouve une raison assez forte pour y adhérer de tout son cœur, c'est-à-dire changer son existence, renoncer à tout égoïsme pour se tourner résolument vers une vie de piété. C'est ici que se situe le célèbre argument du pari.

2 - PREALABLES PHILOSOPHIQUES

Tout d'abord, le texte du pari part de plusieurs présupposés qu'il convient d'expliciter.

1) A la question de l'existence ou de l'inexistence de Dieu, la raison ne peut répondre avec assurance. Contre la tradition issue de Saint Thomas d'Aquin qui voyait dans l'existence du monde une " voie " pour remonter à l'existence de son Créateur, Pascal estime que de telles " preuves " de l'existence de Dieu restent peu convaincantes. C'est le sens du début de l'extrait : " S'il y a un Dieu, il est infiniment incompréhensible, puisque, n'ayant ni parties ni bornes, il n'a nul rapport à nous. Nous sommes donc incapables de connaître ni ce qu'il est, ni s'il est. "

2) Cette question qui dépasse le pouvoir de la raison appelle pourtant un choix de la part de l'homme. " Il faut parier " parce que nul ne peut rester neutre ou indifférent à la question de sa destinée. Cette question n'est pas purement théorique comme celle de savoir, par exemple, s'il existe un mouton à 5 pattes. Celui qui se détermine pour l'existence de Dieu ne vivra pas comme celui qui se détermine dans le sens contraire. Quant à celui qui refuse de trancher, il vivra pratiquement comme l'incroyant. D'où la dimension existentielle du raisonnement : " - Oui ; mais il faut parier ; cela n'est pas volontaire, vous êtes embarqué. "

Ainsi, pour Pascal, il n'y a qu'une alternative : soit vivre pour soi-même, soit vivre pour Dieu. La question du pari n'est donc pas : Dieu existe-t-il ou non ? Mais faut-il vivre comme si Dieu existe ou comme s'il n'existe pas ?

3) Enfin, il va de soi que celui qui choisit de vivre comme si Dieu existait sera (dans le cas où Dieu existe) nécessairement récompensé par un bonheur infini. Le Dieu dont il est question est le Dieu biblique de l'Alliance, la foi en ce Dieu inclut celle dans un jugement personnel de chaque homme et l'éternité qui en résulte pour celui qui a mis sa confiance en Dieu.

4) Cela dit, Pascal omet de penser les conséquences de l'existence de Dieu pour celui qui ne parie pas pour celle-ci. Est-il promis à l'enfer, sorte de punition infiniment négative ? On verra si cette omission joue un rôle dans le raisonnement.

3 - PREALABLE MATHEMATIQUE : LA NOTION D'ESPERANCE MATHEMATIQUE

"Joignant la rigueur des démonstrations de la science à l'incertitude du hasard, et conciliant ces choses en apparence contraires, elle peut, tirant son nom des deux, s'arroger à bon droit ce titre stupéfiant de Géométrie du Hasard. " Blaise Pascal (1623-1662), Adresse à l'Académie parisienne de science (1654) .

On sait que Pascal a élaboré les bases du calcul des probabilités, cette " géométrie du hasard " à partir des situations de jeux d'argent. Lorsque l'on joue à un tel jeu, trois paramètres sont à considérer :
1) la mise : c'est la somme d'argent que l'on engage au départ,
2) la probabilité de gagner. Par exemple, en jetant un dé dans l'espoir d'obtenir 6, la probabilité de gagner est de  . Si l'on jette deux dés et que l'on gagne en obtenant deux six, cette probabilité devient  (car il y a 36 éventualités dont une seule donnant double-six),
3) le montant du gain.

Un joueur se déterminera à jouer en comparant d'un côté le gain promis et la probabilité de gagner et de l'autre la perte (l'enjeu) et la probabilité de perdre. Par exemple, dans le cas du lancer d'un dé pour obtenir 6, si la mise est de 1 € et le gain de 100 €, comme il y a une probabilité de gagner de 1sur 6 et une probabilité de perdre de 1 sur 36, on peut penser que l'importance du gain (100 fois plus élevé que la mise) compense largement sa probabilité (5 fois inférieure à celle de la perte) et l'on se résoudra à jouer. Pour quantifier ce qui apparaît comme le compromis entre les valeurs du gain et de la perte d'une part et les probabilités correspondantes d'autre part, on introduit la notion d'espérance mathématique :



Exemples


Dans l'exemple 1, on voit que l'espérance est positive : c'est le cas où le gain pondéré par sa probabilité dépasse la mise pondérée par sa probabilité. Le jeu est avantageux pour le joueur, il perçoit qu'il a plutôt intérêt à jouer même s'il a plus de chance de perdre que de gagner.

Dans le second cas, l'espérance est nulle car il y a équilibre entre le gain pondéré par sa probabilité et la mise pondérée par sa probabilité ; le jeu est équilibré, rien n'indique s'il vaut mieux jouer que ne pas jouer.

Dans le troisième cas, l'espérance est négative ; cette fois, on est du côté de la perte. Le gain est trop faible et trop improbable vis-à-vis de la perte. Dans le dernier cas, on voit que l'espérance est nulle.

Ainsi, l'espérance est une moyenne des gains et des pertes pondérées par les probabilités correspondantes.

En première approximation, on décidera de jouer si l'espérance est positive (jeu favorable). On sera même d'autant plus enclin à jouer que cette espérance est forte.

Ainsi dans l'exemple 4, en conservant la mise à 1 €, le jeu devient favorable à partir d'un gain de 35 €. Si ce gain passe à 40 €, on pourra toutefois hésiter à jouer (par exemple si l'on mise son dernier euro !). Si le gain passe à 100 €, on sera plus poussé à jouer. On voit que l'espérance est un bon indicateur pour la décision à prendre, mêmes si d'autres facteurs (d'ordre plus subjectifs) peuvent intervenir.

4 - L'APPLICATION DE L'ESPERANCE A LA PROBLEMATIQUE DU PARI

4.1. Le cœur de l'argument : une espérance infinie
Même si Pascal ne dégage pas explicitement la notion d'espérance mathématique, elle constitue implicitement le critère de décision. Ainsi, il accoutume d'abord son auditeur à raisonner à partir de l'espérance. Il se place dans l'hypothèse d'un jeu où il y a égale chance de gagner que de perdre. La mise est "une vie", c'est-à-dire que l'on joue sa vie. Le gain est l'équivalent de deux ou de trois vies. Ces deux situations se résument dans le tableau suivant :



On voit que dans le premier cas le jeu est équilibré. Selon Pascal, " si vous n'aviez qu'à gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager ". Dans le deuxième cas, l'espérance est positive ; cette fois, " s'il y en avait trois à gagner, il faudrait jouer ".

Mais le véritable argument du pari se déploie dès lors qu'on admet que le gain à attendre de l'existence de Dieu (pour celui qui décide de vivre " comme si Dieu existait ") est infini : il s'agit d' "une infinité de vie infiniment heureuse". Comme la mise, aussi douloureuse soit-elle (renoncement aux plaisirs d'une vie égoïste), est finie (il s'agit d'une seule vie), le calcul de l'espérance penche infailliblement  vers l'infini.

Dans le cas où la probabilité de l'existence de Dieu ne serait que d'une chance sur un nombre N de chances (pourvu que celui-ci ne soit pas infini), le résultat reste le même. L'infini du gain compense l'improbabilité (finie) de l'existence de Dieu. Ces deux cas peuvent s'écrire ainsi :



Ainsi, l'espérance étant toujours infinie, l'assentiment est emporté quelle que soit la probabilité de l'hypothèse " Dieu existe " ! " Mais il y a ici une infinité de vies infiniment heureuses à gagner, un hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que vous jouez est fini. Cela ôte tout parti : partout où est l'infini et où il n'y a pas infinité de hasards de perte contre celui de gain, il n'y a point à balancer, il faut tout donner ".

4.2. Et si l'on mise sur l'inexistence de Dieu ?
On a vu que Pascal omettait ce cas de figure. En toute rigueur, il convient de le considérer. Dans l'hypothèse où Dieu n'existe pas, on n'a rien misé et l'on peut considérer que l'on a gagné de vivre les plaisirs de l'existence qui sont finis, soit M. La perte de son côté est nulle puisque tout finit dans le néant.

Dans l'hypothèse où Dieu existe : ici on peut discuter sur la conséquence de ce choix erroné.



Dans ces deux cas, on voit qu'on avait infiniment plus raison de parier sur l'existence de Dieu*. On comprend pourquoi Pascal a négligé la situation de celui qui parie contre l'existence de Dieu.

5 - CRITIQUES ET POSTERITE DU PARI

5.1. N'y a-t-il pas d'autres alternatives religieuses que l'existence du Dieu chrétien ?
On peut en effet tenir le même raisonnement avec d'autres religions, musulmanes, hindous… d'où la multiplication des hypothèses possibles…et une moindre force pour le choix " Dieu (le Dieu biblique) existe ". En fait, Pascal considère que seul le Dieu chrétien promet un bonheur digne de l'homme dans le salut personnel qui est la participation à la vie même de Dieu. C'est pour cela qu'avant de demander à l'incrédule de parier, il lui montre que le christianisme a lui seul bien compris l'homme. Par conséquent, les autres hypothèses religieuses (le dieu de l'islam, le dieu des philosophes…) sont certes possibles, mais Pascal les range implicitement du côté de la fausseté du christianisme. L'alternative est donc : soit la Bible dit vrai de la destinée de l'homme, soit elle dit faux.  Cela précisé, l'argument du pari peut s'appliquer.

5.2. Le concept mathématique d'espérance est-il adapté à un choix religieux ? Le bonheur peut-il se quantifier ?
Suffit-il d'avoir une espérance " très positive " pour parier avec raison ? En général non. Dans le cas d'un jeu d'argent, d'autres facteurs plus subjectifs, non quantitatifs (par exemple moraux) rentrent en ligne de compte ; cependant on peut toujours placer ces facteurs sur le compte des gains et des pertes, si ce n'est qu'ils ne sont pas du même ordre (quantitatif) que le gain en argent. On se heurte au problème de la quantification de " l'infinité de bonheur infini ". Ce bonheur purement qualitatif se modélise-t-il si bien par la notion d'infini mathématique ? N'y a-t-il pas confusion de deux ordres incommensurables ?

On peut répondre que la réduction du pari à un raisonnement quantitatif est plus analogique que démonstrative : l'idée est qu'il y a une disproportion qualitative infinie entre les efforts consentis pour renoncer à l'égoïsme et le bonheur éternel en Dieu.  

5.3. L'estimation d'un gain infini n'est-elle pas relative à chaque individu ?
En effet, à ce qui précède, le libertin répondra que ces plaisirs auxquels on lui demande de renoncer étant la seule réalité dont il soit sûr, ils prennent pour lui une valeur infinie…cette fois l'argument du pari est pris en défaut.

Du point de vue chrétien, sans doute serait-il plus juste d'indiquer que le renoncement à l'égoïsme est déjà ici-bas source de joie plus que de peine (il y a plus de joie à donner qu'à recevoir … et surtout à accaparer). Dès lors, il devient évident que les sacrifices consentis sont déjà payants de façon certaine en cette vie et sont donc désirables en tant que tels ; de plus ils promettent en espérance une infinité de bonheur, mais cette fois de façon incertaine.

5.4. Postérité
Il est impossible de résumer les très nombreux commentaires qu'a suscité le texte du pari et l'influence immense qu'il a pu avoir. Limitons-nous au regard de deux écrivains et d'un cinéaste.

a) Locke (1632-1704) reprend à sa façon l'argument de Pascal : " une bonne vie, jointe à l'espérance d'une éternelle félicité qui peut arriver, est préférable à une mauvaise vie accompagnée de la crainte d'une misère affreuse […] ou, pour le moins, de l'épouvantable et incertaine espérance d'être annihilé ". (Essai sur l'entendement humain)

b) Voltaire (1694-1778) (Remarques sur les Pensées de Pascal) commente le pari, qu'il juge " indécent " et " puéril " à partir d'un contre-sens : selon lui, " l'intérêt que j'aie à croire à une chose n'est pas une preuve de l'existence de cette chose ". Or Pascal n'a jamais prétendu avoir démontré l'existence de Dieu ! C'est précisément son indémontrabilité qui rend possible le pari. On retrouve ce contre-sens chez toutes les personnes qui voient dans le pari une sorte de rationalisation de l'acte de foi qui dispenserait à la liberté de s'exercer.


Contre toute probabilité, Félicie retrouve dans un bus l'homme de sa vie…
Conte d'Hiver d'Eric Rohmer (1991)

c) Eric Rohmer : Le cinéaste français de la " Nouvelle Vague ", qui fut aussi professeur de lettres, évoque le pari de Pascal dans son film Ma nuit chez Maud (1969). L'action se passe à Clermont-Ferrand (ville de Pascal). Elle met en scène un jeune ingénieur catholique et son ami marxiste : c'est d'abord ce dernier qui invoque Pascal pour justifier sa foi en une société sans classes, qu'il sait pourtant très improbable. La notion de pari est ensuite implicite dans la décision de l'ingénieur d'épouser une jeune fille qu'il aime sincèrement, mais qui lui coûte les délices d'une nuit passée en compagnie d'une séductrice, Maud. On retrouvera le thème du pari dans un film postérieur, Conte d'Hiver (1991), où l'héroïne, Félicie, qui a perdu la trace du grand amour de sa vie, garde chevillée au cœur l'espérance qu'elle peut le retrouver par hasard et renonce à tout lien profond en vertu de ce pari.

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* La seule perspective dans laquelle l'argument du pari serait mis en défaut serait celle de l'apocatastase, une hérésie chrétienne condamnée par l'Eglise : Dieu sauve tous les hommes, même ceux qui l'ont sciemment refusé. Dans ce cas, on retrouve une espérance infinie, mais il est bien clair que l'argument du pari n'a plus lieu d'être, car il n'y a plus d'enjeux !
 
Créé le 14/11/2011
Modifié le 17/11/2011